9 гифок, наглядно иллюстрирующих числовые последовательности

Говоря формальным языком, под последовательностью понимается отображение из множества натуральных чисел во множество произвольной природы. Фактически мы перенумеровываем элементы некоторого множества. В курсе математического анализа наиболее важными являются числовые последовательности, т.е. «перенумерация» некоторого подмножества из множества вещественных чисел. Если говорить сухим математическим языком, такое соотношение записывается следующим образом:

Для наглядности мы проиллюстрируем на следующем примере:

9 гифок, наглядно иллюстрирующих числовые последовательности

Важнейшим понятием из теории числовых последовательностей является понятие предела. Для чего же в программировании может быть использован предел числовой последовательности? Давайте рассмотрим пример поиска логарифма.

Машина изначально умела только делать логические операции с числами, записанными в двоичной системе счисления, затем ее научили делать простейшие арифметические операции, но когда дело дошло до поиска значение «более сложных» функций, таких как логарифм, в дело пошли числовые последовательности, а именно последовательности сумм рядов, которые позволяют с той или иной точностью понять, чему же равен логарифм того или иного числа. А логарифм, в свою очередь, используется, к примеру, в нейросетях.

Но об этом чуть позже.

Как же определяется предел числовой последовательности? Математическим языком это записывается следующим образом:

Число a является пределом числовой последовательности Xn , если выполняется следующие условие:

Звучит сложно для восприятия, не правда ли?

Давайте рассмотрим визуализацию сходящейся числовой последовательности, которая выглядит следующим образом

Чтобы было нагляднее понимать это определение, можно представить, что ε — это ширина трубки, которую мы можем уменьшать сколько угодно, в любом случае найдется такое N, начиная с которого все, что справа от него, будет находиться в этой трубке.

Здесь изображена конкретная ε – трубка, но видно, что каково бы ни было число ε > 0, всегда найдется N, от него зависящий, что начиная с этого номера значения последовательности xn отличаются от 1 не более чем на ε.

Между тем расходящиеся числовые последовательности встречаются намного чаще. Давайте домножим рассмотренную выше последовательность на «переключатель» (-1) n . Получаем последовательность:

Вот ее визуализация:

У этой последовательности есть две точки «накопления» её элементов – «1» и «-1». Мы видим, что, например, для ε = 0,1 (см. чертёж) мы никогда не найдем такого N, что все точки последовательности, начиная с некоторого номера, будут попадать в интервал (a – ε; a + ε) , где a — произвольно заданное число. Все четные элементы попадают в верхнюю ε – окрестность, а все нечетные в нижнюю. Предела у этой последовательности нет.

Рассмотрим более хитрые примеры расходящихся числовых последовательностей. Изобразим, например:

У этой последовательности 5 точек накопления ее элементов (также известных, как частичные пределы).

Можно рассмотреть эту же последовательность, изображенную в виде точек. По оси абсцисс отложены номера элементов:

Рассмотрим последовательность с бесконечным числом точек накопления элементов (частичных пределов).

Как видно на визуализации, множество ее частичных пределов представляет из себя весь отрезок от -1 до 1:

На анимации изображена логарифмическая шкала на 50 тысяч элементов.

Если рассмотреть эту последовательность в виде вертикальных отрезков, они плотно заполнят весь отрезок от -1 до 1.

Изобразим числовую последовательность, включающую в себя все рациональные числа от 0 до 1. Множество ее частичных пределов представляет собой отрезок [0; 1] .

Ее визуализация в логарифмической шкале будет выглядеть следующим образом:

Далее рассмотрим визуализации числовых последовательностей, сходящихся к числу e :

Может быть, многие из вас знают, что последовательность sn сходится к числу e гораздо быстрее, но насколько быстрее – представить не очень просто. В этом нам тоже помогут анимации. Давайте изобразим обе эти последовательности на одном графике:

Зачем может пригодиться число e ? В математике оно всплывает крайне часто, например, для поиска факториала.

И на десерт

В заключение рассмотрим последовательность, частичными пределами которой являются все дроби вида:

На графике она будет выглядеть следующим образом:

И в вертикальных отрезках:

Видно, что точка 0 тоже является частичным пределом.

Продолжение следует.

Если вас заинтересовало наше иллюстративное объяснение темы числовых последовательностей, вы можете также посмотреть иллюстративный курс по математическому анализу.

Выражаем большую признательность за работу Алексею Никитину и Алексею Карпову.

Вы пропустили

AEGIS Algorithms Android Angular Apache Airflow Apache Druid Apache Flink Apache Spark API API Canvas AppSec Architecture Artificial Intelligence Astro Authentication Authorization AutoGPT AWS AWS Aurora AWS Boto3 AWS EC2 AWS Lambda Azure Babylon.js Backend bash Beautiful Soup Bento UI Big Data Binary Tree Browser API Bun Career Cassandra Charts ChatGPT Chrome Extension Clean Code CLI ClickHouse Coding Codux Combine Compose Computer Context Fusion Copilot Cosmo Route CProgramming cron Cryptography CSS CTF Cypress DALL-E Data Analysis Data science Database dbt dbt Cloud deno Design Design Patterns Detekt Development Distributed Systems Django Docker Docker Hub Drizzle DRY DuckDB Express FastAPI Flask Flutter For Beginners Front End Development Game Development GCN GCP Geospatial Git GitHub Actions GitHub Pages Gitlab GMS GoFr Golang Google Google Sheets Google Wire GPT-3 GPT3 Gradio Gradle Grafana Graphic Design GraphQL gRPC Guidance HMS Hotwire HTML Huawei HuggingFace IndexedDB InfoSec Interview iOS Jackknife Java JavaScript Jetpack Compose JSON Kafka Kotlin Kubernetes LangChain Laravel Linux LlaMA LLM localStorage Logging Machine Learning Magento Math Mermaid Micro Frontends Mobile Mobile App Development mondayDB MongoDB Mongoose MySQL Naming NestJS NET NetMock Networks NextJS NLP Node.js Nodejs NoSQL NPM OOP OpenAI OTP Pandas PDF PHP Playwright Plotly Polars PostgreSQL Prefect Productivity Programming Prometheus Puppeteer Pushover Python Pytorch Quarkus Rabbitmq RAG Ramda Raspberry Pi React React Native Reactor Redis REST API Revolut Riverpod RProgramming Ruby Ruby on Rails Rust Scalene SCDB ScyllaDB Selenium Servers Sklearn SLO SnowFlake Snowkase Software Architecture Software Development Solara Solid Spring Boot SQL SQLite Streamlit SudoLang Supabase Swift SwiftUI Tailwind CSS Taipy Terraform Testing Transformers TURN TypeScript Ubuntu UI Design Unix UX UX Design Vim Vite VSCode Vue Web Architecture Web Components Web Development Web Frameworks Web Scraping Web-разработка Webassembly Websocket Whisper Widgets WordPress YAML YouTube Zed Наука о данных Разное Тренды

Современный подход к разработке с использованием Next.js