Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

«Чуть-чуть» не считается, за исключением метания подковы, бросков ручной гранаты и… математики?

Что?! Это несерьёзно, да?

Советуем раньше времени не разочаровываться в математической точности, потому что впервые в истории близость значения на самом деле математически точна!

Сейчас вы узнаете, как с помощью базовой математики продемонстрировать друзьям то, что периодическая десятичная дробь 0,999… в действительности равняется 1.

Да, вы всё правильно поняли. Покажем, что это правда, без лишних премудростей. Никаких вычислений, никаких пределов и каких бы то ни было продвинутых концепций. Итак, начнём!

Как перевести периодические десятичные дроби в обыкновенные

Часто люди не понимают, что можно легко записать любую периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной.

Итак, вот, что понадобится.

Если у вас одночисловое бесконечное значение, напишите повторяющуюся цифру над знаменателем 9. Таким образом, мы получим:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Если в дроби чередуются 2 числа, запишите повторяющиеся цифры в числитель над 99.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

При повторении трёх чисел в значении повторяющиеся цифры записывайте над знаменателем 999.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Заметили закономерность?

С учётом N повторяющихся цифр формула обретает вид:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Демонстрация равенства 0,999. и 1

Ладно, поехали! Начните с приравнивания 0,999. эквивалентной дроби.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Конечно, 9 ÷ 9 = 1. Поэтому получаем:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Здесь, пожалуй, закончим. Коротко и ясно.

Всё ещё не убеждены?

До сих пор удивляетесь, как это может быть правдой? Понимаем, ведь это совершенно противоречит здравому смыслу и будоражит разум.

Предположим, что добавление девяток в конец числа 0,999. не только больше и больше приближает значение к 1, но и делает его равным 1.

Вот ещё один способ посмотреть на это.

1/3 равно 0,33333… и 2/3 равно 0,66666…, поэтому 1/3 + 2/3 равняется 0,333 + 0,6666… , верно?

Суммируйте обе стороны и снова получите, что.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Любители математики, наверное, сейчас немного разочаровались, потому что это слишком легко и, как говорят в математическом мире, тривиально.

Слышу вас и тоже временами тоскую по математике. Все же задержитесь еще на немного и вы увидите, почему вышеописанная схема актуальна для бесконечных последовательностей. Вы наверняка знакомы с некоторыми замысловатыми тонкостями математики, которые мы не собирались сегодня использовать, но, кажется, придётся, ведь это будет стоить того.

Метод бесконечных последовательностей

Начнём с разложения значения 0,999… на разряды. Вспомните, как учитель в начальной школе объяснял разрядное значение числа и говорил что-то вроде:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Напишем 0,999. таким же образом, начиная примерно так:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Или в виде дроби:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Если сложим первые 5 значений, то получим 0,99999, и, продолжая представлять дробь в десятичной форме, будем делать это до бесконечности и получим точное значение 0,999.

Выписать десятичное разложение до бесконечности вручную невозможно, поэтому воспользуемся сокращением.

Сначала вынесем 9 за скобки.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Затем перепишем знаменатели в виде 10 в степени.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Теперь используем сигма-нотацию для представления бесконечной суммы.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Дополнительное примечание к сигма-нотации: если вы новичок в сигма-нотации, позвольте рассказать об этом. Греческая буква ∑ (сигма) используется в математике для обозначения многократного сложения.

Первое значение при суммировании образуется путём подстановки первого указанного значения для n , которое можно найти под символом ∑ . В этом случае значение равно n = 1 , поэтому получаем (1/10)¹ .

Чтобы отыскать следующее значение, нужно взять следующее целое число, n = 2 , для получения (1/10)² . Затем подставляйте n = 3 , чтобы получить (1/10)³ , и так далее. Продолжайте делать это, пока не доберётесь до значения над символом ∑ . В нашем случае это бесконечность, поэтому завершения нет.

И, конечно же, все эти образованные значения складываются вместе. В нашем случае их сумма затем умножается на 9.

Думать о числах в нашей последовательности можно и по-другому: каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии.

Это означает, что у нас есть геометрическая прогрессия, которая сходится к a/(1 – r) , где a – первое значение в ряду, а r – число-множитель для получения следующего члена.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Сходимость означает, что последовательность будет всё приближаться и приближаться к конкретному значению, поскольку вы добавляете всё больше и больше членов в ряд. Последовательность становится бесконечно близкой к значению сходимости. В бесконечном масштабе сходимость превращается в равенство.

В нашем случае начинаем с 1/10 и каждый раз умножаем на 1/10 , так что a и r = 1/10 .

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Завершим арифметические операции с правой стороны.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Теперь мы доказали, что 0,999… сходится к или равняется 1.

Заключительные мысли

Если это кажется нелепым, то всё в порядке! Вы знаете, что два разных числа должны на самом деле быть разными числами. Противоречащий здравому смыслу характер этой проблемы присущ странности, которая сопровождает работу с бесконечностью.

Даже в такой простой проблеме, как эта, вы выходите за границы осязаемого для человеческого сознания в масштаб за пределами нашего понимания. Как конечные существа, мы хватаемся за понимание концепции бесконечности или вечности, но никогда не сможем по-настоящему испытать её. Это означает, что часто вещи, правдивые для нашего конечного мира, ведут себя по-другому на бесконечном уровне.

Принятие перехода от легкодоступной и воспроизводимой математики к тому, что можно проверить и представить только в наших умах, – часть красоты и чуда науки.

Так что не принимайте сегодняшний урок близко к сердцу.

Пусть некий слой тумана останется между вами и полным пониманием. Пусть мозг взрывается от факта, что бесконечность ведёт себя странно. И пусть это вызывает страстную жажду исследования и, прежде всего, более углубленного изучения математики.

Проблема дня рождения в реальной жизни

Впервые я услышала эту задачу на курсе математической статистики 300-го уровня в небольшом университете на Тихоокеанском северо-западе. В классе было 30 студентов, и профессор поспорил, что как минимум у двоих один и тот же день рождения.

Затем он попросил всех назвать свой день рождения. Когда подошла моя очередь, я объявила дату рождения как «два в кубе, три в кубе», что заставило класс рассмеяться, поскольку наш высокоинтеллектуальный профессор завис на некоторое время, прежде чем расшифровать дату.

В любом случае, как он и предсказывал, ещё не добрались до последнего студента, а пара совпадающих дней рождения нашлась.

Так как же ему повезло найти соответствующую пару?

Разминка

Ограничение: ради простоты будем игнорировать возможность рождения 29 февраля.

Начнём с простого примера, чтобы размять наш мозг:

Какова вероятность того, что у двух человек одинаковый день рождения?

Человек А родился в любой день года, так как он первый, кого спрашиваем. Вероятность рождения в любой день года составляет 1 или 365/365 .

Поскольку человек B должен родиться в тот же день, что и человек A, его вероятность составляет 1/365 .

Мы хотим, чтобы оба события произошли, поэтому перемножаем вероятности:

Вероятность того, что у любых случайно выбранных двух человек одинаковая дата рождения. Вероятность того, что у любых случайно выбранных двух человек одинаковая дата рождения.

Таким образом, с вероятностью 0,27% вы подойдёте к незнакомцу и обнаружите, что его день рождения совпадает с вашим. Негусто.

Но что насчёт большей группы?

Какова вероятность , что по крайней мере у 2 из 4 человек одинаковый день рождения?

Чтобы решить эту проблему, придётся вычислить все следующие вероятности:

  • у А и В одинаковый день рождения;
  • у А и С совпадает день рождения;
  • у D и A одинаковый день рождения;
  • у B и C одинаковый день рождения;
  • у B и D один и тот же день рождения;
  • у C и D одинаковый день рождения;
  • у A, B и C одинаковый день рождения;
  • у B, C и D одинаковый день рождения;
  • у C, A и D одинаковый день рождения;
  • у A, B и D одинаковый день рождения;
  • у A, B, C и D одинаковый день рождения.

Фу, как много расчётов! Представьте себе, сколько вероятностей пришлось бы рассчитать на класс из 30 студентов!

Должен быть способ получше.

Лучший способ – хитрость с дополнением

Самый простой способ вычислить что-то среди гигантиллиона вероятностей – посмотреть на проблему под другим углом.

Какова вероятность того, что никто не разделяет один и тот же день рождения?

Это альтернативное упражнение полезно, потому что представляет собой противоположность нашей первоначальной проблеме (то есть дополнение). Исходя из теории вероятности, мы знаем, что сумма всех возможных результатов – то есть выборочное пространство – всегда равна 1 или 100% вероятности.

Поскольку вероятность того, что по крайней мере у 2 человек одинаковый день рождения и вероятность отсутствия одинакового дня рождения, покрывают все возможные сценарии, сумма их вероятностей равна 1.

Использование дополнения для решения нашей проблемыИспользование дополнения для решения нашей проблемы

Ура! Это будет намного легче рассчитать.

Расчёт

Потрясающе! Мы наконец-то готовы выяснить, насколько безопасную ставку сделал профессор.

Определим вероятность того, что ни у кого из 30 человек день рождения не повторяется.

Разбиваем расчёт на последовательные операции:

  • Первый студент может родиться в любой день, поэтому назначаем ему вероятность 365/365 .
  • Следующий студент теперь ограничен 364 возможными днями, поэтому вероятность второго студента составляет 364/365 .
  • Третий студент может родиться в любой из оставшихся 363 дней, то есть 363/365 .

Этот шаблон продолжается, и у нашего последнего студента вероятность составляет 336/365 (365 – 29 дней, так как ученики до него израсходовали 29 потенциальных дней).

Снова перемножьте все 30 вероятностей между собой:

&nbsp; Вероятности с&nbsp;<code показаны&nbsp;&nbsp;Вероятности с 361/365 по 338/365 не показаны

Держитесь! Вышло чуточку грязно. Дальше подправим.

Поскольку знаменатель – помноженное само на себя тридцать раз число 365, перепишем его следующим образом:

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Используем факториалы (символически: ! ) для дальнейшей очистки этого расчёта.

С использованием факториала 365! будет равно произведению всех убывающих целых чисел с 365 до 1. Нам нужно произведение целых чисел только с 365 до 336, поэтому убираем посторонние числа делением 365! на 335! .

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Примечание: если это приводит вас в замешательство, попробуйте меньшее значение, например, 5!/3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1 . Обратите внимание на 3 • 2 • 1 в числителе и знаменателе. Они «сокращаются» и превращают 5!/3! = 5 • 4 .

Собрав всё это вместе, получим выражение, которое можно легко ввести в инженерный калькулятор:

Упрощённая форма произведения 30 вероятностей вышеУпрощённая форма произведения 30 вероятностей выше

Результат составляет 0,294 или 29,4% вероятности того, что ни у кого в классе нет одинакового дня рождения. Конечно, нам нужно дополнение, поэтому вычтем значение из 1, чтобы определить вероятность того, что во всяком случае у 2 студентов в группе из 30 человек дни рождения совпали.

Почему 0,999 равняется 1, и в чём проблема дня рождения

Получается, наш профессор сделал довольно безопасную ставку! У него был почти 71% вероятности того, что двое или более из нас родились в один день.

Шанс пятьдесят на пятьдесят

Знаете, чему многие удивляются? Если вы повторите этот расчёт с группой из 23 человек, то обнаружите 50% шанса, что во всяком случае двое человек родились в один и тот же день.

Это относительно маленькая группа людей с учётом 365 возможных дней рождения! И это означает, что в любом коллективе, где больше 23 человек, скорее всего, хотя бы 2 человека родились в один день.